( ) x x. ( k) ( ) ( 1) n n n ( 1) ( 2)( 1) حل سري: حول است. مثال- x اگر. يعني اگر xها از = 1. + x+ x = 1. x = y= C C2 و... و

Transcript

1 معادلات ديفرانسيل y C ( ) R mi i كه حل سري يعني جواب دقيق ميخواهيم نه به صورت صريح بلكه به صورت سري. اگر فرض كنيم خطي باشد, اين صورت شعاع همگرايي سري فوق, مينيمم اندازه است جواب معادله ديفرانسيل i نقاط تكين ضرايب است. ( + )( + + ) ( )( + + ) i y + y + y ± i + + ± i ± mi i R + + y + y + y مثال- + y C اگر يعني اگر ها از جواب باشد, شعاع همگرايي چق است زياد شود به + كه برسد مخرج ضريب y صفر ميشود و معادله ديفرانسيل ميشود و از بين ميرود ( ) ( ) + + y y + y R شعاع همگرايي است. C ( + تمرين شعاع همگرايي ) براي معادله ديفرانسيل كدام است ( ( ( ( حل سري: حول (اگر نبود به وسيله تغيير متغير, معادله ديفرانسيل را عوض ميكنيم و انتقال ميدهيم) y C ; y C ; y ( ) C ضريب را معادله متحد قرار ميدهيم. y C y + C+ y + + C+ y C y C y + C+ y C y C y C ( k) y () k! y C و و با داشتن ) C y( و () y C و... و! Ck ميتوان C را تعيين كرد.

2 )..., y, y( را داريم كه با ضرايب C مرتبط است. چون حول همگرايي بود y C + + C + + C + C! ( ) y + χ+ y مثال- رابطه بين ضرايب معادله چيست + + +!! ( ) (! ) y y + y مثال- يك جواب چگونه است C C + C C C C C C ( + ) C C C C, C, C ( ) C C C C C C C C C + C+!!! y y + ( + ) y ( ) معادله لژان + y C اگر زير ميآيد: جوابي از معادله باشد و شعاع همگرايي سري و فاصله همگرايي > باشد. همچنين رابطه بين Cها به صورت + ( + )( + ) C+ ( C + ) ( + ) C ( )( ++ ) C+ C ( + )( + ) + + C C C + + C ( )( + 5) ( + )( + ) C+ C C C C 5... مهم: رابطه بين ضرايب معادله لژان C y C y با داشتن و ميتوان Cها را حساب كرد. 0 C C C y P 6 C6 C8 C 0... y + a y ay + ay b y y,y, y چيست + 0y مثال: جواب معادله () P: چند جملهاي لژان معادله كوشي اويلر ) i aها اعداد ثابتي هستند) اين معادله يكي از معادلات معروف آزمونهاي كارشناسي ارشد است كه با تعويض متغير (يا ) l معادله به فرم معادله با

3 ({ } { } ) ضرايب ثابت تبديل ميشود. با اين تعويض متغير معادله همگن به فرم زير ميشود. D D D...(D ) + a D D... D a D + a y ( ( )) ( ) y y a y ay b( ) ( D( D ) ad a) y b( ) {,,,..., } {, l,..., ( l ) } حالت خاص: (مرتبه ) y y y y a y a y b ( ) ;, y y, y y y y y + a y + a y b ( D ) P اگر و اگر آنگاه مجموعه جوابهاي پايه عبارتند ا مجموعه جوابهاي پايه عبارتند از: cos( l ),..., cosβ,..., cos ( l ) cos( l ) β β β siβ,..., si si ( l ),..., β β ( l ) si ( βl ) P C,C P C,C d ( )!d m P Pm d m + a + ( ) P D +β حالت كلي اگر N ميتوان از رابطه مقابل () P را حساب كرد. m ( P( ( Pm( يعني چند جملههاي لژان بر هم عمودند و نرم تابع لژاندار همچنين d m + بسط سري جواب نقاط تكين نقطه را تكين (منفرد) معادله ديفرانسيل خطي است. گويند هرگاه حداكثر قطب داشته باشند. y a y a y + a y b a قطب و... و i حداكثر a i حداكثر قطب,...و a داكثر قطب ح غير اين صورت تكين ما منظم نيست. تابع زوج: تابع فرد: y + + si y + β+ l( + ) y si a! حذف جمله مثال- به ازاي چه مقادير و β قطب نيست. تكين منظم است صورت ساده مي شود ( β+ lim( + ) β+ + ) a β قطب مرتبه

4 + + + اگر نقطه تكين منظم معادله ديفرانسيل y y a y a باشد, اين صورت جوابي به a y b ) ( y خواهد داشت. C صورت فوبينيوس ) ( توجه: وقتي تكين منظم است شعاع همگرايي سري قبلي ميشود بنابراين آن سري به عنوان جواب معادله ديفرانسيل مناسب C چرا نيست. براي تعيين از عبارت مشتقهاي متوالي تا گرفته و ضريب C را مخالف صفر قرار ميدهيم. ( ) + ( ) ( ) y C C + C C C y C + C C +... C + C C فرض C + C C +... C C از: ادعا كردهايم صفر با قطب مرتبه دارد كه از مجموعه سري فاكتور گرفته شده است و ميشود. معادله مشخصه عبارت مي شود a a + a i a i lim ai a y + + siy + y توجه داشته باشيد كه ' aها نماد مشتق نيستند و يك مقدار محدود ميشود چگونه است حول مثال- معادله شاخصي معادله ديفرانسيل روبه رو حول چگونه است ( + ) Si ( + ) si a a lim ( ) a a lim ( ) C ( ) ( l ) C ( ) : ريشه از مرتبهP ( ) ) بسته به اينكه معادله مشخصه داراي چه نوع جوابي باشد جواب معادله ديفرانسيل متفاوت است. () و l() C ()... و اگر يك خط جا نشدند اين عبارت هاي دار را خط بعد بنويسيد ( +β ) ) ( ) ( ) cosβl( ) C ( ) ( ) siβl( ) C ( ), ( ) ( l( )) cosβl( ) C ( ) ( l( )) siβl( ) C همچنين اگر تفاضل جواب هاي معادله مشخصه عدد صحيح باشد جواب ها غير مستقل شده و يكي را ) l( ضرب مي كنيم.

5 k y C k k k+ y ( ) y C ( ) + m y C ( ) y y C m پس اين صورت y C ( ), y l C ( ) + C y ( + )y + ( + )y را حل كنيد. مثال: معادله ( ) + ± y C ( )( + ) ( + ) a() lim a() lim ( ) ( ) y lim C + C y y + با شرط ()y صورتي كه جوابي از معادله باشد, چيست مثال- جواب ديگر معادله + y yl+ C ( yl+ C ( yl+ C ( yl+ C ( a a ( ) + a a گزينه مرتبه دوم.,β چه مقدارهايي y d, y c, ( + )y + y +β( )y اگر جواب هاي معادله دارند باشد, a() ( + ) ( ) + +β + +β β ( ) a β ( + ) 5 :, β, از جواب ها () a y + y () c + c + c است. g() چيست مثال) جواب معادله روبرو cg() + ) a( ( )( )( ) + + كوشي اويلر + ( )( a) ( ) ( ) c+ c + c + l c g l y c + c + c آنگاه 5 y c + c آنگاه g() و اگر + c + cg() اگر cg() + معادله بسل معادله ديفرانسيل g() l و... { ( λ ),y( λ) } { يا ( λ ), ( λ) } y, y + جواب هايي به صورت + λ y 5

6 ( ) + ± y باشد اين صورت داريم: C ( ) + C, + C m m m Cm, y l Cm + Dm m m دقت شود تابع بسل نوع دوم تكين است. ( ( y دارد. λ را تابع بسل مرتبه گويند. اگر سري فوبينيوس جواب معادله به صورت y و تعريف مي كنيم:, گوييم: يا اگر را تابع بسل نوع اول و تكين از جه دارد. و را تابع بسل نوع دوم مي گويند قطب مرتبه دارد. y فرق تكين و قطب: جه قطب حتما بايد صحيح باشد مثلا تكين است. تكين است نه قطب توجه به علت وجود l + ) + + ) m d ; m π ) cos ( θsiθ) dθ π y + y + λ y V + V l V l 5 V V V λ u + u ها ( λ ) نمودار فقط y به صورت مقابل است: از يك شروع مي شود و بقيه از صفر شروع مي شوند. به عبارتي رابطه بازگشتي بين ها مساله خاص بي نهايت جواب دارد. جواب هاي اين معادله عبارتند از: λ) ( به روش و يعني توابع بسل با وزن متعامد هستند. V معادله را حل مي كنيم: + a V 6

7 u +λ u u {si λ, cosλ} y si λ, cosλ si λ cosλ ( λ ), ( λ ) است. و فرق اين است كه تكين ( λ) ( λ) مثال- مطلوبست و معادله قبل. + cos si cos si ( cossi) ( ) si cos si cos ( sicos) نكته ها براي > صفر مشترك ندارند. + نكته ريشه مضاعف ندارد هم آن چون اگر باشد ريشه را دارد, ريشه مشترك مي يابند كه غلط است. () + () () () + + () () y + y چيست مثال- جواب معادله + از جمع آثار استفاده مي كنيم يكبار ورودي و يك بار ورودي را مي گيريم. طبق رابطه بازگشتي بين توابع بسل داريم: + + v (), شد. جواب ورودي حال اگر بدهيم خروجي چه مي شود معادله همگن به فرم روبه رو مي شود كه حل مي كنيم: y y + y, + ly l yh y c + c u u u y ytot cyh + () + + () + + () 7